» » Конспект урока по Математике "Многочлены, действия над многочленами" 10 класс

Конспект урока по Математике "Многочлены, действия над многочленами" 10 класс


Здесь Вы можете скачать Конспект урока по Математике "Многочлены, действия над многочленами" 10 класс для предмета : Математика. Данный документ поможет вам подготовить хороший и качественный материал для урока.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ
















УРОК-ЛЕКЦИЯ

ПО ТЕМЕ:

«Многочлены, действия над многочленами»

в 10 классе





Разработан учителем

математики Чумичевой Л.В.














Урок-лекция

Тема: Многочлены. Действия над многочленами.

Основная цель: Систематизировать сведения о многочленах. Познакомить учащихся с действиями, совершаемыми над многочленами.

Задачи: Выработать умение выполнять действия над многочленами. Дать знание алгоритма деления многочлена п-ой степени на двучлен (х-a) по схеме Горнера;совершенствовать вычислительную культуру учащихся.

Ход лекции

  1. Опр. Многочленом от х называется выражение вида a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, где a0; a1; …;an — некоторые числа, называющиеся коэффициентами, х — переменная, вместо которой можно подставить любое числовое значение.


Коэффициент an — называют свободным членом многочлена, коэффициент a0 (a00) — называют старшим коэффициентом, а слагаемое a0xn — старшим членом, а сам многочлен называют многочленом n-ой степени.

Для сокращения записи многочлена используют функциональную символику.

Условимся, например, обозначать многочлен Pn(x)= a0xn+a1xn-1+…+an, (a00).


Опр. Значением многочлена при х=с называют число, которое получается, если

вместо х подставить число с и произвести указанные действия.


Pn(c)= a0cn+a1cn-1+…+an.

Например, P3 = x3-2x2+3x-5 P3(2)=1

Заметим, что при х=0 Pn(0)=an, то есть значение многочлена при х=0 равно

свободному члену.

А при х=1 Pn(1) = a0+a1+…+an. Таким образом, значение многочлена при х=1 равно сумме всех коэффициентов этого многочлена.

Пр.1 Найти сумму коэффициентов многочлена 1+(х2-6х+5)(х5+3х4-2х32-х-

-7)3 +(х2-3х+1)253+5х+7)

F(1) = -12.

Обычно «многочленами» называют не только выражения вида Pn(x), но и выражения, приводимые к этому виду с помощью тождественных преобразований: раскрытия скобок, приведения подобных членов, перестановки слагаемых. В частности, если какой-нибудь из коэффициентов обращается в нуль, то соответственные слагаемые в записи многочлена просто опускаются.

Например, 7(x2-3x)+(x+1)3-5(2x2+1) = 7x2-21x+x3+3x2+3x+1-10x2-5 = x3+0x2-18x-4= = x3-18x-4.

Если коэффициенты многочлена равны нулю, то многочлен называют нулевым Pn(x) = 0

Это единственный многочлен, степень которого не определена.

Опр. Всякий отличный от нуля многочлен можно записать в виде Рn(х)=

a0xn+…+an (то есть в порядке убывания степеней переменной х). Такую запись

называют канонической записью многочлена n-ой степени.

Опр. Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова,

то есть степени этих многочленов равны и соответствующие коэффициенты равны.


Иными словами, если Pn(x) = a0xn+a1xn-1+…+an

Qm(x)= b0xm+b1xm-1+…+bm, то

Pn(x) = Qm(x)

Пр. 2 Найдите, при каких a,b и с выполняется равенство

Ответ. a=3; b=-7; c=4


Действия над многочленами.


  1. Пусть даны два многочлена

P3(x) = 2x3-x2-5x-2

P2(x) = x2-x-2

Найти их сумму, разность и произведение.

P3(x) + P2(x) = 2x3-6x-4 = Q3(x)

P3(x) - P2(x) = 2x3-2x2-4x = G3(x)

P3(x)P2(x) = ( 2x3-x2-5x-2)( x2-x-2)

2x3-x2-5x-2

старший коэффициент = 2 свободный член = 4


  1. Сумма, разность и произведение двух многочленов также является многочленом.

  2. Степень многочлена Р(x) + Q(x) или P(x)-Q(x) не превосходит наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x).

  3. Степень многочлена P(x)Q(x) равна сумме степеней многочленов P(x) и Q(x), а старший коэффициент многочлена P(x)Q(x) равен произведению старших коэффициентов многочленов P(x) и Q(x).


  1. Перейдем теперь к рассмотрению деления многочленов.

1) Опр. Пусть P(x) и Q(x) — два многочлена, причем многочлен Q(x) отличен от нуля. Если существует такой многочлен G(x), что P(x) =Q(x)G(x), то говорят, что многочлен P(x) делится на Q(x).


Например, P3(x)=2x3-x2-5x-2

P2(x)=x2-x-2

Разделим многочлен P3(x) на многочлен P2(x).

По определению, P3(x) = P2(x)G(x). Определим степень многочлена G(x). Какого вида будет многочлен G(x) ?

Отв: степень G(x) = 1; G(x) = ax+b.

Тогда 2x3-x2-5x-2 = (x2-x-2)(ax+b)

Найдем при каких а и b многочлены будут тождественно равны.

Значит, G(x) = 2х+1.

Этот метод деления называется методом неопределенных коэффициентов.


  1. Многочлены можно делить друг на друга «уголком». Рассмотрим этот метод деления.

В
о множестве многочленов не всегда можно выполнить деление без остатка. Имеется более общая операция, называемая делением с остатком, которая всегда осуществима во множестве многочленов. Например,

Опр. Пусть Р(х) и Q(x) – два многочлена, причем многочлен Q(x) отличен от нуля. Если существуют такие многочлены G(x) и R(x), что выполнимо равенство Р(х)= Q(x) G(x)+ R(x), то говорится, что многочлен Р(х) делится на Q(x) с остатком. Многочлен G(x) называют частным, R(x) — остатком.


Задание. Найти частное и остаток при делении многочлена P4(x) на двучлен Q(x)= = x-.



Вычисление коэффициентов b1; b2; b3 и R можно записать в следующую схему

Используя данную схему, найдем коэффициенты частного и остаток при делении

на многочлен

При делении P4(x) на двучлен Q(x) = x-1 имеем равенство P4(x) = (x-1)G3(x) + R.

Заметим, что при х=1 , P4(1) = (1-1)G3(x) + R

P4(1) = R

Действительно, P4(1) = 1+1+3+2+2 = 9

R=9


То есть, остаток от деления многочлена P4(x) на двучлен (x-1) равен значению многочлена P4(x) при x=1. R=P4(1).


  1. Схема Горнера

При делении многочлена Pn(x)= a0xn+a1xn-1+…+an, расположенного по

убывающим степеням x на двучлен (х-α) применяется метод сокращенного деления, называемого схемой Горнера.

Этот метод есть непосредственное следствие метода неопределенных коэффициентов. Заметим, что при делении Pn(x) степени n на двучлен (х-) в частном получается многочлен , степени (n-1), а в остатке число.

По методу неопределенных коэффициентов имеем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и в правой части равенства, находим


Вычисление коэффициентов частного Qn-1(x) и остатка R проводится по следующей схеме


В этой схеме, начиная с коэффициента b1, , каждое число третьей строки получается из предыдущего числа этой строки умножением на число и прибавлением к полученному результату соответствующего числа первой строки, стоящего над искомым числом. Данная схема называется схемой Горнера.

При делении многочлена Pn(x) на (х-) имеем тождественное равенство

Pn(x) = (x-)Qn-1(x) + R

если х=, то Pn() = R.

Итак, мы смогли найти остаток от деления многочлена на двучлен, не находя частного. То есть, имеет место следующая теорема.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(x) на двучлен (х-) равен значению многочлена Pn(x) при х=, то есть R = Pn().

Пример: P4(1) = 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 9.

Таким образом мы систематизировали сведения о многочленах, познакомились с действиями, совершаемыми над ними. А применение выше изложенных методов деления многочленов и теоремы Безу мы рассмотрим на последующих занятиях.



Другие материалы из категории Математика



  • Рейтинг@Mail.ru