» » Методические рекомендации к внеурочной самостоятельной работе "Решение систем уравнений методом Гаусса"

Методические рекомендации к внеурочной самостоятельной работе "Решение систем уравнений методом Гаусса"


Здесь Вы можете скачать Методические рекомендации к внеурочной самостоятельной работе "Решение систем уравнений методом Гаусса" для предмета : Математика. Данный документ поможет вам подготовить хороший и качественный материал для урока.

Самостоятельная работа №2

Решение систем уравнений методом Гаусса

Цель работы: овладеть методом Гаусса при решении систем линейных уравнений


Студент должен:

Знать:

  • символику и формы записи систем линейных уравнений

  • что такое совместная и несовместная система уравнений

  • методы решения СЛАУ(метод Гаусса)

Уметь:

  • применять метод Гаусса



КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

  1. В каком случае система имеет единственное решение?

  2. В каком случае система имеет бесконечное множество решений?

  3. В чем достоинство метода Гаусса по сравнению с другими методами?


Форма выполнения задания: решение задач (письменно)

Время выполнения 45 мин


Основной теоретический материал


Метод Гаусса. Этот способ заключается в обнулении элементов основной расширенной матрицы системы уравнений, находящихся под главной диагональю.


Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы


Алгоритм метода Гаусса

  1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;

  2. Приводим матрицу к "треугольному" виду;

  3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;

  4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через переменные которые могут принимать произвольные значения;



Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.


На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:


Пример построения матрицы для решения по методу Гаусса

  

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Решение типовых заданий

Решить систему трех линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса

Метод Гаусса

Ответ: х=1, y=2, z=3.

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

left{begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \ -3x - y + 2z &=& -11 \ -2x + y + 2z &=& -3 end{array}right.

Обнулим коэффициенты при x!во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на textstyle-frac{3}{2}!и -1!, соответственно:

left{begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 8 \ frac{1}{2}y + frac{1}{2}z &=& 1 \ 2y + z &=& 5 end{array}right.

Теперь обнулим коэффициент при y!в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4!:

left{begin{array}{rcc} 2x + y - z &=& 8 \ frac{1}{2} y + frac{1}{2} z &=& 1 \ -z &=& 1 \ end{array}right.

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

z = -1!из третьего;

y = 3!из второго, подставив полученное z!

x = 2!из первого, подставив полученные z!и y!.


Ответ: (2; 3; -1).









Решить самостоятельно системы линейных уравнений по вариантам: 10 вариантов

1http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_m31d25716.gif

2http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_7568c1c1.gif

3http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_m6cdc1716.gif

4http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_m6bc043ed.gif

5http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_56466032.gif

6http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_467d86a0.gif

7http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_m78f8219a.gif

8http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_36db1791.gif

9http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_7882bcc5.gif

10http://skachate.ru/pars_docs/refs/30/29004/29004_html_m47f0849f.gif



Оформить отчет

Требования к оформлению самостоятельной работы

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради

По результатам решения тренажера выставляется оценка, которая учитывается при приеме дифференцированного зачета.

Шкала оценки образовательных достижений


Процент результативности

(правильных ответов)

Оценка уровня подготовки

Балл (оценка)

Вербальный аналог

90-100

5

отлично

80-89

4

хорошо

70-79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно



Интернет ресурсы

http://math1.ru/education/sys_lin_eq/gauss.html

http://www.bestreferat.ru/referat-180751.html





Другие материалы из категории Математика



  • Рейтинг@Mail.ru