- Конспект урока по Алгебре "Геометрический смысл производной"

Конспект урока по Алгебре "Геометрический смысл производной"

Открытый урок по теме:

«Геометрический смысл производной».

Цели урока: дать понятие углового коэффициента прямой, определение угла между прямой и осью Ох; выяснить геометрический смысл производной, научить составлять уравнение касательной к графику функции и применять теоретические знания на практике.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: презентация по изучаемой теме, карточки-задания.

Ход урока:

  1. Организационный момент (3 мин)

  2. Сообщение темы урока, постановка его целей и задач, мотивация учебной деятельности ( 5 мин) (слайд №1)

Нам необходимо ответить на следующие вопросы:

1)Что называется секущей и касательной?

2)В чём заключается геометрический смысл производной функции в точке?

3)Какое уравнение имеет касательная к графику функции в точке?

Эпиграфом нашего урока будут следующие слова, которые принадлежат российскому учёному-математику: (слайд №2).

«Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли»

  1. Активизация познавательной деятельности, воспроизведение и коррекция опорных знаний (12 мин)

Закончите предложение (записывая подряд буквы правильных, по вашему мнению, слов, вы узнаете фамилию этого учёного) (слайд № 3 ):

1) Закон или правило, согласно которому каждому элементу х из одного множества ставится в соответствие единственный элемент у из другого множества.

2) Элемент х называется …

  1. Элемент у называется…

Точка на координатной плоскости имеет два значения: х и у.

4) Значение х называется… .

5) Значение у называется… .

6) Функция, заданная формулой у = кх + b, где к, b- числа, х-переменная называется… .

7) Функция, заданная формулой у=ах²+bх+с, где а, b, с - числа, х - переменная называется… .

8) Функция, заданная формулой у=х, где р-любое число, х- переменная называется… .

9) Функция, заданная формулой у=а, где а˃0,а≠1, х-переменная называется… .

10) Функция, заданная формулой у=Ɩogх, где а˃0, а1, х˃0 называется… .

11) Функция, заданная формулой у=соsх, где х - переменная называется…

Слова для справок:

(К) Абсциссой

(Р) Показательной

(А) Функцией

(С) Ординатой

(О) Логарифмической

(Л) Аргументом

(В) Тригонометрической

(Е) Значением функции

(А) Линейной

(Д) Степенной

(Н) Квадратичной

4. Подготовка к восприятию нового материала. (10 мин.)

Решение многих задач приводит к понятию производной: это и определение мгновенной скорости и ускорения в данный момент времени, мощности, силы тока и напряжения переменного тока и т.д.

Сейчас мы остановимся на геометрической задаче - построение касательной к кривой. Сначала вспомним: (слайд №4)

1) как называется график линейной функции у = кх + b. (Прямая).

2) Как называется коэффициент к. (Угловым коэффициентом прямой)

α- угол между прямой и положительным направлением оси Ох.

3) Какая связь между к и α. (к = tgα)

4) Что называется тангенсом угла. (Это отношение абсциссы точки к её ординате)

Итак, если известен угол α, то можно определить число к. А, если дана точка на прямой, то и число b.

Пример 1. Найти значения k и b, если прямая у = кх + b проходит через точку (x0; y0) и образует с осью Ох угол α

α = π∕4, х₀=2, у₀=-3. Найти к и b. Решение: к = tg = 1, у₀ = кх₀ + b, b = у₀ - кх₀, b = -3-2=-5

Ответ: 1 и -5.

5. Изучение нового материала. (15 мин)



Если не дан угол α, то число к можно найти с помощью производной (слайд №5)

Рассмотрим график функции. Пусть точки А и М принадлежат графику этой функции. Прямая АМ называется секущей. Определим координаты точек А, М и С.

А(х, ƒ(х)), М(х+h, ƒ(х+h)), С(х+h, ƒ(х))

Рассмотрим АМС: tgα = МС: АС, где МС = ƒ(х+h) – ƒ(х), АС = h, т.е. к = tgα= ∆ƒ ∕ h

Пусть число х фиксировано,тогда точка А неподвижна, а точка М при h0 двигаясь по графику, стремится к точке А. При этом прямая АМ стремится занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции у=ƒ(х)

Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной и этот угол равен углу МАС как односторонние при параллельных прямых АС и Ох.

Сравнивая определения производной и полученное выражение можно сделать вывод: k = ƒ’(х0)

(слайд №6)

Геометрические смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Пример 1: Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции ƒ(х) = x3 с абсциссой в точке x0 = 1

Пример 2: найдите угол между касательной к графику функции ƒ(х) = x3 с абсциссой в точке x0 = 1 и осью Ох

Выведем уравнение касательной к графику функции в точке х. (слайд № 7)

Если у=кх+b искомое уравнение, то к=ƒʹ₀). Уравнение примет вид: у=ƒʹ(х₀)х+b, b = у-ƒʹ(х₀)х, у = ƒ(х₀),

b = ƒ(х₀) - ƒʹ(х₀)х

У = ƒʹ)х + ƒ) - ƒʹ

y = f(x0) + f’(x0) (x - x0) – уравнение касательной.

1. Найти ƒ)

2. Найти ƒʹ(х)

3. Найти ƒʹ)

4. Подставить полученные числа в уравнение касательной.

Пример 3: Построить касательную к параболе у = х² в точке х₀ = -1

Решение: 1) Построим параболу у=х², её вершина находится в точке (0,0), ветви направлены вверх.

2) составим уравнение касательной: ƒ) = ƒ(-1) = (-1)² = 1

ƒʹ(х) = (х²)ʹ = 2х, ƒʹ) = ƒʹ(-1) = 2ˑ(-1) = -2, у = 1-2(х+1), у = -2х-2, (0,-2), (1,-4)

3) Построим прямую.

В качестве примера на геометрический смысл производной можно рассмотреть так называемую задачу о прожекторе, которую коротко можно сформулировать так: какой формы должно быть зеркало? Где поместить источник света?

Для этого нужно ввести понятие параболоида вращения. Поверхность, получившаяся при вращении параболы у = х² вокруг оси Ох называется параболоидом. Представим себе, что внутренняя поверхность его – зеркальная и это параболическое зеркало освещается пучком лучей света, параллельных оси Оу. Рассмотрим сечение этого зеркала плоскостьюά, проходящей через ось Оу, Это сечение представляет собой такую же параболу у=х². Согласно законам оптики отраженный луч света будет лежать в плоскости άи этот луч образует с касательной такой же угол, как и падающий МА. Все лучи, параллельные оси Оу, после отражения пересекутся в одной точке, которая называется фокусом параболического зеркала. Если поместить в фокусе источник света, то отраженные лучи не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок, параллельный оси зеркала. То есть, мы получаем возможность усилить световой сигнал. На этом свойстве основано устройство прожекторов и фонарей, различных проекторов. Если же вместо зеркала в фокусе разместить фотопластинку, то мы получим возможность световой сигнал идущий от звезды. На этом свойстве основано устройство параболических телескопов и параболических антенн, которые усиливают радиосигналы.

6. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения (15 мин)

1) Найти значения k и b, если прямая у = кх + b проходит через точку (x0; y0) и образует с осью Ох угол α: α = , x0 = - 3, y0 = 2

2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции ƒ(х) = с абсциссой в точке

x0 =

3) найдите угол между касательной к графику функции ƒ(х) = с абсциссой в точке x0 = 1 и осью Ох

4) Написать уравнение касательной к графику функции ƒ(х) = x - 3x2 с абсциссой в точке

x0 =

7. Постановка задания на дом (5 мин) Алимов Ш. А. Алгебра и начала анализа: 10-11 кл. §48, стр. 247-250, №860,

8. Подведение итогов урока (5 мин).

1)Что называется секущей и касательной?

2)В чём заключается геометрический смысл производной функции в точке?

3)Какое уравнение имеет касательная к графику функции в точке?





















Здесь представлен документ «Конспект урока по Алгебре "Геометрический смысл производной"», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (все классы). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока по алгебре "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ" 9 класс

Конспект урока по алгебре "АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ" 9 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. Наро-Фоминская средняя общеобразовательная школа №5. с углубленным изучением отдельных ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия" 9 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия" 9 класс

Солдатова Татьяна Анатольевна. . МОУ «СОШ с. Сулак. . Краснопартизанского района. Саратовской области». . Учитель математики. тема: "Арифметическая ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии" 9 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии" 9 класс

Открытый урок. Дата: 27.11. Класс: 9. Предмет: алгебра. Тема урока: Решение задач на тему «Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 10 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 10 класс

Конспект урока математики в 10 классе. Жирнова С.В. учитель математики. Тема урока:. «Арифметический квадратный корень и его свойства». Тип урока. ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметические действия с числами" 6 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметические действия с числами" 6 класс

Методическая разработка урокаматематики. «Арифметические действия с. числами. ». для учащихся 6-го класса. Аннотация. Повторение изученного ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень"

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень"

Тема урока: Урок- практикум по теме «Арифметический квадратный корень». Цели урока:. . -. знать определения арифметического квадратного корня, ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 8 класс

Тема: «Арифметический квадратный корень и его свойства». Урок-игра «Аукцион математических знаний». Цели урока. :. . Образовательные:. - ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень" 8 класс

Урок алгебры в 8 классе. «Арифметический квадратный корень». Большакова И.А., учитель математики. СШГ №16 г. Талдыкорган. Цели урока:. образовательные:. ...
Конспект урока по Алгебре "Биквадратное уравнение и его корни" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Биквадратное уравнение и его корни" 8 класс

Учитель математики Апенькина Наталья Александровна. Конспект урока. Класс – 8. Тема – «Биквадратное уравнение и его корни». Цели урока: . образовательная:. ...
Конспект урока по Алгебре "Биквадратные уравнения" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Биквадратные уравнения" 8 класс

Иванова Ольга Александровна. МОУ «СОШ №2» г. Всеволожска. Учитель математики. Урок по теме: «Биквадратные уравнения». Цели урока:. . Обучающие:. ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Конспект урока по Алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока:. урок обобщения и систематизации знаний. Цель:. актуализация имеющиеся знания ...
Конспект урока в 10 классе по алгебре "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента"

Конспект урока в 10 классе по алгебре "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента"

. Урок по алгебре в 10-м классе "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента". . Бойко Ксения Николаевна. МАОУ ...
Конспект урока по Алгебре "В мир одночленов и многочленов" 7 класс

Конспект урока по Алгебре "В мир одночленов и многочленов" 7 класс

Алгебра 7 класс. Урок – путешествие «В мир одночленов и многочленов». Цели:. обеспечить повторение и систематизацию материала темы; создать ...
Конспект урока на тему "Применение производной к исследованию функции"

Конспект урока на тему "Применение производной к исследованию функции"

МОУ Греково-Степановская СОШ. . Чертковского района Ростовской области. Учитель математики и информатики. Киселева Лариса Анатольевна. Урок алгебры ...
Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение общеобразовательная школа №53. пос. Октябрьский Люберецкий район Московская область. . . ...
Конспект урока алгебры для 11 класса «Исследование функции с помощью производной»

Конспект урока алгебры для 11 класса «Исследование функции с помощью производной»

Выездное заседание республиканского клуба «Пеликан». 20 марта 2012 г. План-конспект урока. Тема «Исследование функции с помощью производной». ...
Конспект и презентация урока по алгебре в 11 классе "Введение понятия первообразной"

Конспект и презентация урока по алгебре в 11 классе "Введение понятия первообразной"

. Муниципальное общеобразовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа №7. г. Соль-Илецка Оренбургской области». ...
Конспект урока по Алгебре "Алгебраические дроби" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Алгебраические дроби" 8 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа села Старобурново. . муниципального района Бирский район ...
Конспект открытого урока по алгебре на тему «Алгебраические выражения. Подготовка к экзаменам» 9 класс

Конспект открытого урока по алгебре на тему «Алгебраические выражения. Подготовка к экзаменам» 9 класс

Государственное бюджетное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья ...
Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе. . по алгебре. . по теме:. . «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ». Учитель. высшей категории. Петухова И.В. ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:4 декабря 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа: Конспекты уроков
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую