- Конспект урока по алгебре "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии" 9 класс

Конспект урока по алгебре "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии" 9 класс


Дата: 24.12.2012 Алгебра 9 рус

Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цели и задачи урока: Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.

Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.

План урока.

  1. Организационный момент.

  2. Немного истории.

  3. Теоретический опрос.

  4. Решение задач.

  5. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

  6. Домашнее задание.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Немного истории.

В клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным. Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.

  1. Теоретический опрос.

Задание. Записать номер формулы.

  1. Определение арифметической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.

  1. Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

  1. Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.

  1. Формулу свойства членов геометрической прогрессии.

  1. Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.

  1. Общую формулу для вычисления знаменателя геометрической прогрессии.

  1. Определение геометрической прогрессии.

  1. Формулу n-го члена геометрическую прогрессии.

  1. Формулу свойства членов арифметической прогрессии.

  1. Формулу n-го члена арифметической прогрессии.

  1. an+1 = an + d 7)

  2. 8)

  3. an = a1 + (n – 1)d 9)

  4. 0)

6) 11)

12)

Проверить код ответов ( 1, 6, 12, 11, 2,0.

Расшифровать полученные числа, как день16.12.11. 20-летия Независимости Казахстана.

  1. Решение комбинированных задач.

  1. Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют геометрическую

прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 - арифметическую прогрессию с

разностью 6. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия{ а, в, с} и q = 2,

арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.

Найти: а, в, с, е.

Решение:


а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а


аq = 2а

аq2 = 4а

-


Арифмет.

прогрессия

-


в


в + d = в + 6

в + 2d = в + 12

По данным составим таблицу.




По таблице видно, что 2а = в и 4а = в + 6.

Имеем 4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2

Ответ: 3, 6, 12, 18.

  1. Сумма трёх чисел, образующих арифмет. прогрессию, равна 27.

Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут

образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.

Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет. прогрессия { а, в, с},

геометр. прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.

Найти: а, в, с.

Искомые числа

а

в

с

Арифмет.

прогрессия

а


в = а + d


с = а + 2d


Геометр.

прогрессия

а - 1


(а + d) – 3

а + 2d – 2


Решение:

По данным составим таблицу.




  1. По условию сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1).

По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.

  1. Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2), (9 – 3)2 = (а – 1)( а + d + d – 2), 62 = (а – 1)(7 + d) (2)

Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.

d2d – 20 = 0

По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13, в = 9, с = 9 – 4 = 5.

2) а = 9 – 5 = 4, в = 9, с = 9 + 5 = 14.

Ответ: 13, 9, 4 или 4, 9, 14.

  1. Даны 4 числа, составляющих геометрическую прогрессию. Если от

этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут

образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия { а, в, с, е},

арифмет. прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.

Найти: а, в, с, е. Решение: По данным составим таблицу.

Числа

а

в

с

е

Геометр.

прогрессия

а


аq


аq2


аq3


Арифмет.

прогрессия

а – 10


в – 11 = аq – 11


с – 9 = аq2 – 9


е – 1 = аq3 – 1



По таблице используем данные и применим свойство арифметической прогрессии 1) , 2аq – 22 = a + аq2 – 19, аq2 - 2аq + a = – 3,

a(q2 - 2q + 1) = – 3, a(q – 1)2 = – 3 (1).

2) , 2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12, аq3 - 2аq2 + aq = – 6,

aq(q2 - 2q + 1) = – 6, aq(q – 1)2 = – 6 (2).

  1. Почленно разделим равенство (2) на равенство (1) = ,

После сокращения дробей получим q = 2.

  1. Найдём значение а из равенства (1) а = – 3.

Вычислим остальные числа: в = – 3 · 2 = – 6, с = – 6 ·2 = – 12, е = – 12 · 2 = –24.

Ответ: – 3, – 6, – 12, – 24.

  1. Даны 3 различных числа, составляющих геометрическую

прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой

последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность

была арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной

геометрической прогрессии.


Дано: а, в, с – искомые числа, геометрическая прогрессия { а, в, с},

арифметическая прогрессия { а, в, х, с}.

Найти: q


Решение: Так как по условию 3 различных числа, составляющих геометрическую прогрессию, то q для арифметической прогрессии d



а

в

х

с

Геометр.

прогрессия

а


аq


-

аq2


Арифмет.

прогрессия

а


а + d


а + 2d


а + 3d


По данным составим таблицу.





По таблице видно, что 1) аq = а + d, d = аq – а, d = а(q – 1) (1)

2 ) аq2 = а + 3d, 3d = аq2 – а , 3 d = а(q2 – 1) (2)

  1. Подставим равенство (1) в равенство (2) 3а(q – 1) = а(q2 – 1).

Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим 3 = q + 1, q = 2. Ответ: 2.

  1. Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х) 0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.

Решение. 1) Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; - 1;…

Заметим, что 3 – 7 = – 4, – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они образуют арифметическую прогрессию с d = – 4 и а1 = 7.

По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии найдём сумму 6 членов:

  1. Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…

Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую прогрессию с

q = 2 и в1 = 2.

По формуле суммы n-первых членов геометрической прогрессии найдём сумму 6 членов:

  1. Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х) 0 и решим его методом интервалов.

Построим чертёж + –– +

– 126 6

Ответ: (-

  1. Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 - … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.

Решение.

  1. Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: - 21; - 15; - 9;…

Заметим, что – 21 – (– 15) = – 15 – (– 9) = 6, раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую прогрессию с d = 6 и а1 = – 21.

По формуле суммы n-первых членов арифмет. прогрессии найдём сумму 8 членов:

  1. Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…

Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с q = 0,5 и в1 = 2.

По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии найдём сумму всех членов:

  1. Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0 = 3 + 4 и решим его.

х2 – 6│х│ = 7, х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.

Если хто уравнение примет вид х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения

Если хто уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения

Ответ:

  1. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

  2. Домашнее задание.

  1. Три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)

  2. Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)

  3. Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)


Здесь представлен документ «Конспект урока по алгебре "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии" 9 класс», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (9 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект открытого урока по алгебре на тему «Алгебраические выражения. Подготовка к экзаменам» 9 класс

Конспект открытого урока по алгебре на тему «Алгебраические выражения. Подготовка к экзаменам» 9 класс

Государственное бюджетное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья ...
Конспект интегрированного урока по алгебре по теме "Приближенные вычисления" 8 класс

Конспект интегрированного урока по алгебре по теме "Приближенные вычисления" 8 класс

Голицинский филиал МБОУ «Никифоровская СОШ№2». Никифоровского района Тамбовской области. Конспект интегрированного урока по алгебре ...
Конспект урока алгебры по теме: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии, 9 класс

Конспект урока алгебры по теме: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии, 9 класс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Тема урока: «Определение арифметической прогрессии. Формула n. -го члена арифметической прогрессии». . ФИО (полностью). ...
Конспект урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

Конспект урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

Учитель:Корабельникова Г.А. . . Дата проведения: 30.01.09. . . . Урок алгебры в 9-м классе. . Тема :« Арифметическая и геометрическая прогрессии». ...
Конспект обобщающего урока по алгебре "Формулы сокращённого умножения" 7 класс

Конспект обобщающего урока по алгебре "Формулы сокращённого умножения" 7 класс

Конспект. обобщающего урока по алгебре. . с использованием информационных технологий (ИТ). Тема:. « Формулы сокращённого умножения». Продолжительность: ...
Конспект урока в 10 классе по алгебре "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента"

Конспект урока в 10 классе по алгебре "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента"

. Урок по алгебре в 10-м классе "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента". . Бойко Ксения Николаевна. МАОУ ...
Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение общеобразовательная школа №53. пос. Октябрьский Люберецкий район Московская область. . . ...
Конспект и презентация урока по алгебре в 11 классе "Введение понятия первообразной"

Конспект и презентация урока по алгебре в 11 классе "Введение понятия первообразной"

. Муниципальное общеобразовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа №7. г. Соль-Илецка Оренбургской области». ...
Конспект урока в 9 классе по алгебре "НАХОЖДЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАФИКУ"

Конспект урока в 9 классе по алгебре "НАХОЖДЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАФИКУ"

Алгебра 9 класс. Тема урока: Нахождение свойств функции по ее графику. Цели:. познакомить учащихся с основными свойствами функций; формировать ...
Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе. . по алгебре. . по теме:. . «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ». Учитель. высшей категории. Петухова И.В. ...
Конспект урока для 9 класса на тему "Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений"

Конспект урока для 9 класса на тему "Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений"

Тема урока: Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений. Цели:Обучающая: формирование ...
Конспект урока для 9 класса «Преобразование тригонометрических выражений»

Конспект урока для 9 класса «Преобразование тригонометрических выражений»

учитель математики. Кулик Наталья Николаевна,. специалист высшей категории. . первого уровня. ГУ «Средняя школа № 19. отдела образования. ...
Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

УЧИТЕЛЬ: Круглова Н. И. Урок «Решение систем уравнений второй степени» Алгебра 9 класс. . Тип урока:. комбинированный. . Формы работы:. ...
Конспект урока для 9 класса по теме "Решение систем уравнений"

Конспект урока для 9 класса по теме "Решение систем уравнений"

Автор: Пунгер Ирина Евгеньевна, Криулина Наталия Николаевна. Место работы: Архангельская область, г. Северодвинск, МБОУ «СОШ №23». Должность: ...
Конспект урока математики "Формулы сокращенного умножения" 7 класс

Конспект урока математики "Формулы сокращенного умножения" 7 класс

МБОУ «Матюшинская СОШ». Верхнеуслонского района Республики Татарстан. Урок математики в 7классе. Тема урока « Формулы сокращенного ...
Конспект урока математики в 5 классе «Квадрат и куб числа»

Конспект урока математики в 5 классе «Квадрат и куб числа»

Конспект урока математики в 5 классе по теме: «Квадрат и куб числа». Учитель: Сычева Нина Григорьевна. Это последний урок по данной теме. Обобщаются ...
Конспект урока математики в 7 классе по теме "Разложение многочлена на множители способом группировки"

Конспект урока математики в 7 классе по теме "Разложение многочлена на множители способом группировки"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Новомихайловская средняя общеобразовательная школа». Татарского района Новосибирской области. ...
Конспект урока математики в 9 классе "Целые уравнения и их корни"

Конспект урока математики в 9 классе "Целые уравнения и их корни"

Учитель: Сергадеев А.В. Школа: Филиал МОУ СОШ с.Святославка в с.Воздвиженка. Предмет: математика. Учебный план – 5 часов в неделю (из них 3 ч. ...
Конспект урока для 9 класса «Уравнения, приводимые к квадратным»

Конспект урока для 9 класса «Уравнения, приводимые к квадратным»

Открытый урок на тему. . «Уравнения, приводимые к квадратным» (9 класс). Цель: рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным, ...
Конспект урока «За страницами курса алгебры» 9 класс

Конспект урока «За страницами курса алгебры» 9 класс

. Муниципальная общеобразовательная средняя школа № 14. Элективный курс. «За страницами курса алгебры». 9 ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:17 ноября 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа: Конспекты уроков
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую