- Конспект урока для 11 класса «Иррациональные уравнения»

Конспект урока для 11 класса «Иррациональные уравнения»


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Великоархангельская средняя общеобразовательная школа.


Конспект урока для 11 класса «Иррациональные уравнения»


Учитель математики Зайцева Нина Викторовна.

Цели урока:

  1. Расширить представления учащихся о методах решения иррациональных уравнений.

  2. Продолжить работу по формированию у учащихся умений решать иррациональные уравнения.

  3. Развивать логику, учить рассуждать последовательно, доказательно, не теряя из виду ни одного момента.


Попробуйте без алгебры прожить,

Без логарифмов и без уравнений,

Поверьте мне, будете потом тужить,

Здесь никаких не может быть сомнений.

  1. Сообщение темы и цели урока.

Решением уравнений в школе мы с вами занимаемся, по меньшей мере, в течение семи лет. В этом году вам придется сдавать выпускные и вступительные экзамены, где часто предлагаются уравнения, в которых применяются преобразования, обычно не встречающиеся при решении стандартных школьных уравнений.

Сегодня на уроке мы рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений.

Определение: уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным.

Например: Даны уравнения. Какое из них иррациональное?

=2, =3, , ,

  1. Повторение.

Вспомните понятие корня n–ой степени: (корнем –ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. =b, где , b-всякое.

Введение арифметического корня автоматически приводит к появлению еще одного понятия «модуль числа». Действительно, чему равен ?

Если то ; если .

А если же нам ничего неизвестно о знаке, например, √ sin2x , мы вынуждены придумать новое понятие “модуль числа”:

  1. Свойства корней.

Отметим важные свойства корней, которые необходимо помнить при решении иррациональных уравнений:

-Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла.

-Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Рассмотрим несколько уравнений (устно, по заранее подготовленным записям):

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

При величина неотрицательна, а величина положительна. Следовательно, их сумма всегда больше 0. Поэтому уравнение решений не имеет.

Найдем область допустимых значений для левой части уравнения.

Левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Т.о. вопрос о решении этого уравнения снимается - ведь нельзя даже осуществить операцию сложения в левой части, т.е. не существует сама сумма . Каков же вывод?

Данное уравнение заведомо не может иметь решений, т.к. левая часть этого уравнения не существует ни при одном значении неизвестного .

Нельзя ставить вопрос о том, при каких значениях некоторое алгебраическое выражение равно определенному числу (больше или меньше некоторого числа), если это выражение не существует.

Из того факта, что алгебраическое выражение написано, не следует, что оно существует. Строго говоря, следует выяснить, существует ли оно, и если существует, то где, и лишь после этого решать поставленную задачу: решить уравнение (неравенство), строить график и т.д.

Еще раз подчеркнем, что это уравнение заведомо не может иметь решений.

Ответ: данное уравнение заведомо не может иметь решения.

Левая часть уравнения есть разность двух корней, при этом при любых значениях -3+9, следовательно, эта разность всегда отрицательна и не может быть равна неотрицательному значению корня . Значит, это уравнение не имеет решения.

Запись: . Если , уравнение не имеет корней,

если , то уравнение равносильно уравнению .

Этот метод называется метод освобождения от знака радикала.


  1. Методы решения иррациональных уравнения.

1) Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).

  1. проверка:

11-8=3,

, 11-корень

6-8=-2, 6-не корень.

Ответ: 11.


  1. проверка:

-3= -3.

2=2.

Ответ: -2, 3

пусть тогда

или

Ответ: 3, 4.


Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения а затем исключить посторонние. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Как правило, иррациональные уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства:

Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

Ответ: -1.


2)Метод уединения корня.

Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа? Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае?

Запись:

Решение.

Ответ: 0.



В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения.

Ответ: 5, 17.


  1. Метод введения новой переменной (метод подстановки).

пусть , тогда

Ответ:


  1. Пусть

тогда

Ответ: .


пусть тогда

Ответ: 3.


пусть

тогда

Ответ: -4,5; 2.

  1. Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.

В некоторых иррациональных уравнениях разность подкоренных выражений в одной части совпадает с другой частью или является множителем ее. В этом случае целесообразно использовать данный метод.

  1. , (1).

(2)

Сложим (1) и (2) и получим

Ответ: -4,5; 2.


ОДЗ.

Умножим обе части на выражение , тогда

или

Проверка:

- неверное равенство,

  1. посторонний корень.

- верное равенство.

Ответ: -1.



  1. Метод разложения на множители.

Ответ: 1, 3.


Ответ: 5.


Применение группировки.

Ответ: 1, 4.


  1. Метод выделения полного квадрата.

тогда .


_________________________________________

0 2 3


решений нет.

решения системы




Осуществим подстановку .

Ответ:


Ответ:


  1. Метод оценки.

И наступят тяжелые времена

И будет неизвестная Величина

О, ее спаситель, за дело возьмись,

С этим уравнением разберись!


Преобразуем данное уравнение.

Оценим левую и правую части этого уравнения:

(1).

(2),

Сложим почленно равенства (1) и (2)

Таким образом, левая часть данного уравнения не меньше 5, а правая не более 5.Равенство достигается только в том случае, если каждая часть исходного уравнения равна 5. Это возможно в том случае, если .

Ответ: -1.

  1. Метод использования свойств функций, входящих в уравнение.

Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях.

Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую, а в другой - постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного действительного корня.

Например: (устно),

Найдем область допустимых значений (или область существования уравнения). Итак, левая часть уравнения существует для любого

Давайте внимательно посмотрим на левую часть. Выражение

Представляет сумму двух монотонно возрастающих функций – функцию монотонно возрастающую.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , т.е. а далее только возрастать, поэтому график функции никогда не пересечет прямую , следовательно, уравнение не будет иметь решений.

Заметим, что при решении этого уравнения мы учитывали не только область допустимых значений переменной , но и область значений функции

Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая – убывающую. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня.

Решить уравнение

Решим уравнение, используя свойства монотонности функций.

Предположим, что корень уравнения. Подставив его, мы получим верное

равенство .

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Функция определена и дифференцируема на R. Исследуем ее на монотонность: . Найдем критические точки функции, решив уравнение . Пусть тогда , D,

Значит, уравнение действительно корней не имеет; поэтому при любых значениях и строго возрастает на R.

Рассмотрим функцию Она определена на R и дифференцируема на R, кроме так как то при

строго убывает на R.

Поскольку функция убывает, а - возрастает на R, то уравнение имеет не больше одного корня, т.е.

Ответ: 2.

При наличии времени классу предлагается решить иррациональные уравнения, содержащие корни степени выше второй, разные:

ответ: 0; .

ответ: 1; 2; 10.

Данные уравнения, предложены учащимся для самостоятельной работы.


В конце урока проведена самостоятельная работа, текст которой учитель может подобрать, учитывая индивидуальные особенности детей класса.

Подведение итогов урока.

Учитель еще раз обращает внимание на методы решения, которые были использованы при решении иррациональных уравнений. После этого подводится общий итог.

Задание на дом.

Подобрать из разных источников иррациональные уравнения, решаемые различными методами.



Здесь представлен документ «Конспект урока для 11 класса «Иррациональные уравнения»», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (11 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока для 10 класса «Тригонометрические уравнения»

Конспект урока для 10 класса «Тригонометрические уравнения»

Урок соревнование. Тема. «Тригонометрические уравнения». Девиз урока. :. «. Один за всех и все за одного». Ход урока:. Урок –соревнование будет ...
Конспект урока алгебры для 11 класса «Исследование функции с помощью производной»

Конспект урока алгебры для 11 класса «Исследование функции с помощью производной»

Выездное заседание республиканского клуба «Пеликан». 20 марта 2012 г. План-конспект урока. Тема «Исследование функции с помощью производной». ...
Конспект урока для 8 класса по теме: «Построение графика квадратичной функции»

Конспект урока для 8 класса по теме: «Построение графика квадратичной функции»

Открытый урок по алгебре 8 класс. «Построение графика квадратичной функции». учителя ГОУ центра образования № 671 «Перспектива» Санкт-Петербурга. ...
Конспект урока алгебры для 11 класса на тему «Сочетания и размещения»

Конспект урока алгебры для 11 класса на тему «Сочетания и размещения»

Урок по теме. «Сочетания и размещения». Организационная информация. Тема урока:. «Сочетания и размещения». Предмет:. алгебра и начала анализа. ...
Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных уравнений"

. . . Тема:. . Решение квадратных уравнений. . Класс: 8. . Дата:_. _. Тип урока:. . Урок-обобщение. . . . Цель ...
Конспект урока для 9 класса «Уравнения, приводимые к квадратным»

Конспект урока для 9 класса «Уравнения, приводимые к квадратным»

Открытый урок на тему. . «Уравнения, приводимые к квадратным» (9 класс). Цель: рассмотреть способы решения уравнений, приводимых к квадратным, ...
Конспект урока для 9 класса на тему "Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений"

Конспект урока для 9 класса на тему "Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений"

Тема урока: Первые сведения о статистике. Выборка. Гистограмма. Среднее значение, мода и медиана выборки. Решение упражнений. Цели:Обучающая: формирование ...
Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

УЧИТЕЛЬ: Круглова Н. И. Урок «Решение систем уравнений второй степени» Алгебра 9 класс. . Тип урока:. комбинированный. . Формы работы:. ...
Конспект урока для 9 класса по теме "Решение систем уравнений"

Конспект урока для 9 класса по теме "Решение систем уравнений"

Автор: Пунгер Ирина Евгеньевна, Криулина Наталия Николаевна. Место работы: Архангельская область, г. Северодвинск, МБОУ «СОШ №23». Должность: ...
Конспект урока для 8 класса «Способы решения иррациональных уравнений»

Конспект урока для 8 класса «Способы решения иррациональных уравнений»

Балагурова-Шемота Наталья Юрьевна. Учитель математики МБОУ лицей №90 г. Краснодар. Учебник А.Г. Мордкович (углубленное изучение). Класс -8. ...
Конспект урока алгебры для 7 класса "Сложение и вычитание многочленов"

Конспект урока алгебры для 7 класса "Сложение и вычитание многочленов"

Алгебра. 7 класс. Урок № 26. Дата:_____________. Учитель:. Горбенко Алена Сергеевна. Тема:. Сложение и вычитание многочленов. Тип урока:. . ...
Конспект урока для 6 класса "Задачи на составление уравнения"

Конспект урока для 6 класса "Задачи на составление уравнения"

Задачи на составление уравнения (6 класс).  . В книге напечатаны рассказ и повесть, которые вместе занимают 70 страниц. Повесть занимает в 4 ...
Конспект урока алгебры для 7 класса «Решение задач с помощью уравнений»

Конспект урока алгебры для 7 класса «Решение задач с помощью уравнений»

Конспект урока. Учитель математики МОУ СОШ №100 г. Волгограда:. Рокотянская Татьяна Ивановна. Предмет: алгебра. Класс 7. Тема: «Решение задач ...
Конспект урока для 8 класса "Обобщающий урок. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни"

Конспект урока для 8 класса "Обобщающий урок. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни"

Урок алгебры в 8 классе. Тема. : Обобщающий урок. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Учитель математики. : Байтурова А.Р. ...
Конспект урока для 8 класса "Квадратные уравнения"

Конспект урока для 8 класса "Квадратные уравнения"

8 класс. Тема урока:. Квадратные уравнения. Тип урока: Объяснение нового материала. Цель урока: Ввести формулы для решения квадратных уравнений ...
Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Характеристики урока (занятие). Уровень образования:. основное общее образование. . Целевая аудитория. : Учащиеся, учителя. Класс:. 8 класс. ...
Конспект урока для 9 класса «Метод интервалов»

Конспект урока для 9 класса «Метод интервалов»

Филиал МОУ Петряксинская СОШ- Ново-Мочалеевская ООШ. Разработка урока. . «Метод интервалов». 8 класс. Урок разработан учителем ...
Конспект урока для 9 класса "Неравенства с одной переменной"

Конспект урока для 9 класса "Неравенства с одной переменной"

. . Школьный фестиваль педагогического творчества. «Открытый урок – маленький шедевр». МБОУ СОШ п. Рощинский. Неравенства с одной ...
Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных неравенств"

Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных неравенств"

Тема урока:. « Решение квадратных неравенств». Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий по теме «Квадратные неравенства». ...
Конспект урока для 8 класса "Решение уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение уравнений"

Гончарова Мария Федоровна. Учитель математики. МБОУ СОШ № 92 г.о. Самара. . Решение уравнений. Алгебра 8 класс. Программно-методическое ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:30 декабря 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа: Конспекты уроков
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую

Документы из категории