- Сумма н-первых членов арифметической прогрессии

Сумма н-первых членов арифметической прогрессии

Тема: Сумма н-первых членов арифметической прогрессии.

Цели урока:

  • Должны знать: формулу н-го члена арифметической прогрессии, формулы суммы н-первых членов арифметической прогрессии

  • Должны уметь: получать формулы н – первых членов арифметической прогрессии, применять их при решении задач..

Ход урока

1. « Математическая истина сама по себе не является ни простой, ни сложной, она существует», - так сказал Эмиль Лемуан. Я думаю, что каждый из вас сегодня на уроке не просто присутствующий, а активный участник познания истины.

2. Актуализация знаний.

Фронтальная работа. Вспомним изученный теоретический материал по теме:

  • Дайте определение арифметической прогрессии.

  • Как найти разность арифметической прогрессии, запишите формулу?

  • Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

  • Является ли заданная последовательность арифметической прогрессией, почему?

  1. 3; 6; 9; 12; …

  2. -1; -1; -1; …

  3. 0; 13; 1; 14; 2; 15; …

  4. -3; -1; 1; 3; …

Найдите а5если а1=4 и d=7. (32)

Найдите а12, если а11=20 и а13=30. (25)

Самопроверка знаний

Математический диктант (с самопроверкой) на карточках проводится в виде теста, как подготовка к итоговой аттестации в новой форме.

1 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 2, разность 4. Укажите ее третий член.

А. 12 Б. 10 В. 8 Г. 14

2. Первый член арифметической прогрессии 5, второй 8. Укажите четвертый член.

А. 13 Б. 16 В. 14 Г. 11

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 2; 7; 12; ..?

А. 21 Б. 22 В. 26 Г. 25

4. (an): – 4; -1: – арифметическая прогрессия. Число 5 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 4 Б. 5 В. 3 Г. 6

5. Между числами 8 и 14 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А. 13 Б. 10 В. 12 Г. 11

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 2; 4; 8; 16; Б. -5; 5; -5; 5; В. 1; 3; 5; 7; Г. 1; 4; 9; 16;

2 вариант

1. Первый член арифметической прогрессии 1, разность 3. Укажите ее третий член.

А. 9 Б. 6 В. 8 Г. 7

2. Первый член арифметической прогрессии 3, второй 7. Укажите четвертый член.

А. 15 Б. 16 В. 14 Г. 13

3. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 4; 10; 16; ?

А. 27 Б. 28 В. 29 Г. 30

4. (an): – 6; -2: – арифметическая прогрессия. Число 6 является членом данной арифметической прогрессии. Определите его номер.

А. 5 Б. 6 В. 3 Г. 4

5. Между числами 7 и 13 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А. 9 Б. 10 В. 11 Г. 12

6. Какая из следующих последовательностей может являться арифметической прогрессией?

А. 1; 4; 9; 16; Б. 3; -3; 3; -3; В. 5; 3; 1; -1; -3; Г. 1; 8; 27; 64;

Бланк ответов к математическому диктанту:

Фамилия ______________ Вариант ___

Ответы:

1.
2.
3.
4.
5.
6.

Самопроверка осуществляется с помощью мультимедийного проектора.

Ответы к математическому диктанту:

1 вариант Ответы:1. Б, 2. В, 3. Б, 4. А, 5. Г, 6.В

2 вариант Ответы: 1. Г, 2. А, 3. Б, 4. Г, 5. Б, 6. В

3. Постановка проблемы

Классу предлагается решить две задачи :

    1. Шарик бросают с некоторой высоты, и он свободно падает. В первую секунду он проходит 4,9, метра, а в каждую следующую на 98 метра больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет шарик за 11 – ю секунду?

    2. Шарик бросают с некоторой высоты, и он свободно падает. В первую секунду он проходит 4,9 метра, а в каждую следующую на 98 метров больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет шарик за 11 секунд?

    Что общего у этих двух задач? (речь идет об арифметической прогрессии)

    Каким образом задается арифметическая прогрессия? (указан первый член и разность)

    Назовите первый член и разность этой прогрессии (учащиеся записывают краткие записи обоих задач)

    Чем отличаются эти задачи? (разный вопрос)

    Что нужно найти в первой задаче? (одиннадцатый член прогрессии)

    А что нужно найти во второй задаче? (сумму одиннадцати членов прогрессии) Давайте эту сумму обозначим следующим образом S11.

    Один человек идет к доске и решает задачи на доске; остальные работают на местах.

    Вы смогли решить вторую задачу?
    – В чем затруднение?
    – Чего мы еще не знаем?
    – Какой у вас возникает вопрос?
    – Так какой будет тема нашего урока? (На доске в тетрадях тема урока)

    А в последнем столбце?

    Можем ли мы утверждать, что суммы во всех столбцах равны? Почему? (суммы номеров равны)

    сколько всего таких сумм? (п.)

    Чему равна сумма всех записанных здесь членов прогрессии?

    Чему равна искомая сумма?

    На доску вывешивается опорный конспект.

    попробуйте сформулировать словами, как найти сумму н – первых членов арифметической прогрессии. (Спрашиваю значение каждого символа);

    расскажите друг другу эту формулу;

    несколько человек проговаривают формулу вслух.

    - вывод второй формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии.

    Давайте проведем небольшое исследование, чтобы открыть свойство арифметической прогрессии, которое понадобится при решении задач.

    1.  Зададим произвольно арифметическую прогрессию.

    Пусть а1 =7; d = 2.

    Назовите первые 10 членов этой прогрессии: (дети пишут в тетрадях; учитель – на доске)

    а1=7; а2= 9; а3=11; а4=13…… а10 =25

    Найдите суммы: а1 + а8 = 28

    а2 + а7 = 28
    а3 + а6 = 28
    а4 + а5 = 28

    Что интересного вы заметили в этих равенствах? (имеют равные значения)

    Обратите внимание на номера членов прогрессии, которые выбраны.

    Что вы заметили?

    Что можно сказать о сумме этих номеров?

    А теперь найдите мне сумму членов прогрессии, у которых номера в сумме дают, например,8.(На доске появляются соответствующие равенства)

    Так какой вывод можно сделать? Попытайтесь сформулировать это свойство прогрессии.

    ВЫВОД: / Если суммы номеров членов прогрессии равны, то равны и суммы соответствующих членов прогрессии/

    Это свойство можно сформулировать в таком виде:

    Свойство: Если ан – арифметическая прогрессия и p +m = k +l , то ap + аm = аk + аl

    Доказательство: Воспользуемся формулой н-го члена арифметической прогрессии аn= a1+ d(n-1), получим

    ap + аm = аk + аl;

    a1+d(p-1) + a1 + d(m-1) = a1+d(k-1) + a1;

    a1 + dp – d + a1 + dm – d = a1 + dk – d + a1

    dp + dm – d = dk

    dp + dm = dk + d

    d(p + m) = d(k +1)

    p + m = k +1

    3. Рассказ из биографии известного математика. (Высоцкая Н.)

    Создание формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии связано с именем известного немецкого математика, астронома и физика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855).

    Карл рос в бедной семье. Математические вычисления заменили Гауссу игрушки. Его отец, садовник и фонтанный мастер, помогал купцу в торговле, в расчетах, а маленький мальчик часто присутствовал при этом.

    Во всей истории математики нет никого, кто приблизился бы к Гауссу по ранней одаренности. Неизвестно, в каком возрасте Архимед впервые проявил свой гений. Самые ранние проявления высочайшего математического таланта Ньютона вполне могли пройти незамеченными. Гаусс же, хотя это кажется невероятным, показал свою одаренность, когда ему не было ещё трех лет. Как – то в субботу Герхард Гаусс составлял платежную ведомость для рабочих. Дойдя до конца своих длинных расчетов, Герхард с удивлением услышал: «Папа, вычисления неверны, должно быть…» Проверка показала, что число, названное младшим Гауссом, было правильным

    Его способности не остались не замеченными. Однажды учитель, чтобы занять детей, дал задание: найти сумму натуральных чисел от 1 до 100. Он был поражен, когда самый маленький ученик, а Карлу было тогда 9 лет, очень быстро нашел искомую величину. Эту формулу в общем виде Карл Гаусс вывел позже.

    Он не строил лесенок из рядов, он заметил что если сложить 1 и последний член ряда получится 101, второй и предпоследний тоже получим 101 и таким образом будем складывать остальные члены. Таких сумм получится в 2 раза меньше, чем членов последовательности, т.е 50, значит её сумма будет равна 101*50 =5050.

    1,2,3,4,5,…, 96, 97, 98, 99, 100

    1+100=101; 2+99 = 101… 50+51= 101

    4. А теперь давайте таким – же способом найдем сумму н – первых членов произвольной прогрессии (ан)

    Что мне для этого надо сделать? (дважды записать в прямом и обратном порядке)

    Чему равна сумма в первом столбце?

    А в последнем столбце?

    Можем ли мы утверждать, что суммы во всех столбцах равны? Почему? (суммы номеров равны)

    Сколько всего таких сумм? (п.)

    Чему равна сумма всех записанных здесь членов прогрессии?

    Чему равна искомая сумма?

    На доску вывешивается опорный конспект.

    Попробуйте сформулировать словами, как найти сумму н – первых членов арифметической прогрессии. (Спрашиваю значение каждого символа);

    Расскажите друг другу эту формулу;

    Несколько человек проговаривают формулу вслух.

    - Вывод второй формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии.

    Закрепление

    1. Решается задача из постановки проблемной ситуации.

    2. 603 (б), (а) – самостоятельно, с последующей проверкой.

    3. 604 (а)

    4. Родители ко Дню рождения своего сына решили купить ему мобильный телефон. Для этого, они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей через 10 месяцев, и смогут ли они купить ему телефон?

    Дано: арифметическая прогрессия: а1 = 650 руб, d = 50 руб, n = 10 месяцев,

    Найти: Sn = ?

    Решение:  

    8. Итог урока. Объявление оценок. Рефлексия.

    Каждый обучающийся отвечает на вопросы карточки.

    Фамилия, имя _______________________________________________________

    1. С именем какого великого математика связана формула суммы первых n членов арифметической прогрессии? __________

    2. В задаче известно, что в арифметической прогрессии  = 8, d = - 2. Требуется найти сумму первых пятнадцати ее членов. Какой формулой рациональней воспользоваться? ___________

    3. Дана арифметическая прогрессия, в которой  = 4,  = 7,8. Какой формулой удобнее пользоваться, если требуется найти сумму двадцати первых членов прогрессии?______________


    9. Домашнее задание. П.26, конспект, № 604 (б), 605, 606, 619,/ 621

    Список используемой литературы.

    1. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразоват. организаций/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 20 – е изд. – М.: Просвещение, 2013.

    2. Эрик Темпл Белл Творцы математики. Предшественники современной математики. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1979.

    3. Алгебра. Поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. – Издательство «Учитель»

    4. Алгебра. Весь школьный курс в таблицах/ сост Т.С. Степанова – Минск: Букмастер: Кузьмина, 2012.

    5. Интернет – ресурсы.

    Здесь представлен документ «Сумма н-первых членов арифметической прогрессии», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (все классы). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

    Список похожих документов

    Конспект урока по Алгебре "Сумма первых n-членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Сумма первых n-членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Наименование учреждения _ Республика Казахстан, г. Павлодар, ГУ Средняя общеобразовательная школа № 14. ФИО __Солошенко Ирина Владиславовна. Должность ...
    Технологическая карта по Алгебре "Сумма n-первых членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Технологическая карта по Алгебре "Сумма n-первых членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Методическая разработка урока. Катана Марина Евгеньевна. ГБОУ гимназия №107. Выборгского района Санкт-Петербурга. Тема урока: «Сумма n. ...
    Конспект урока по Алгебре "Сумма первых n членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Сумма первых n членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Алгебра 9 класс. . Урок на тему "Сумма первых n членов арифметической прогрессии". . Цели урока:. . Обеспечить успешное усвоение и закрепление ...
    Конспект урока по Алгебре "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"

    Конспект урока по Алгебре "Сумма n первых членов геометрической прогрессии"

    Конспект урока по теме. « Сумма. n. первых членов геометрической прогрессии». Составила учитель математики. МБОУ СОШ № 12 города Ульяновска. ...
    Конспект урока по Алгебре "Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии" 9 класс

    МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 5». ГОРОДА СМОЛЕНСКА. Тема: “ Формула суммы первых. n. ...
    Конспект урока по Алгебре "Сумма и разность многочленов" 7 класс

    Конспект урока по Алгебре "Сумма и разность многочленов" 7 класс

    Разработка урока математики в 7-м классе по теме "Сумма и разность многочленов". Цели урока:. Ввести понятие суммы и разности многочленов. ...
    Конспект урока по алгебре "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по алгебре "Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии" 9 класс

    . Дата: 24.12.2012 Алгебра 9 рус. Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Цели и задачи урока:. Научить приёмам комбинирования ...
    Конспект урока по Алгебре "Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач" 9 класс

    Урок по алгебре. 9 класс. Тема: Использование формул арифметической прогрессии при решении прикладных задач. Цель:. обобщить знания по теме «Арифметическая ...
    Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической прогрессии" 9 класс

    Открытый урок. Дата: 27.11. Класс: 9. Предмет: алгебра. Тема урока: Решение задач на тему «Арифметическая прогрессия. Формула п-ой арифметической ...
    Конспект урока алгебры по теме: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии, 9 класс

    Конспект урока алгебры по теме: Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии, 9 класс

    ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Тема урока: «Определение арифметической прогрессии. Формула n. -го члена арифметической прогрессии». . ФИО (полностью). ...
    Конспект урока по алгебре "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по алгебре "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии" 9 класс

    Назиева А.П. учитель математики. МБОУ Петрово-Дальневской СОШ. Красногорского района Московской области. Открытый урок алгебры в 9 классе на тему:. ...
    Конспект урока по Алгебре "Характеристическое свойство арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по Алгебре "Характеристическое свойство арифметической прогрессии" 9 класс

    Конспект урока по алгебре 9 класс. Тема урока:. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Тип урока:.  . урок изучения нового материала. ...
    Урок на тему «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии»

    Урок на тему «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии»

    Схема конспекта урока. Тема. : «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии». Класс: 9. Тип урока. : урок изучения и первичного ...
    Конспект урока по алгебре в 9 классе "Формула n-го члена арифметической прогрессии"

    Конспект урока по алгебре в 9 классе "Формула n-го члена арифметической прогрессии"

    Конспект урока по алгебре в 9 классе Толкуновой С.С. . Число. :. Тема. : Формула n. -го члена арифметической прогрессии. Девиз урока:. . «Образование ...
    Арифметическая и геометрическая прогрессии, 9 класс

    Арифметическая и геометрическая прогрессии, 9 класс

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. « Октябрьская школа-гимназия». Красногвардейского района Республика Крым. ...
    Технологическая карта урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    Технологическая карта урока "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    Технологическая карта урока. Учебный предмет: алгебра. Класс: 9. Школа: МБОУ «Большебитаманская» СОШ. Учитель: Мухаметзянова Эльмира Габдулловна. ...
    Конспект урока по Алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

    Конспект урока по Алгебре "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

    Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии. Тип урока:. урок обобщения и систематизации знаний. Цель:. актуализация имеющиеся знания ...
    Сумма и разность кубов двух выражений, 7 класс

    Сумма и разность кубов двух выражений, 7 класс

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «средняя общеобразовательная школа № 77». города Ижевска. Технологическая карта ...
    Разработка урока алгебры "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    Разработка урока алгебры "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    Разработка урока алгебры 9 класс. по теме :. «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Тема урока. : Прогрессио- движение вперед. Цель урока. ...
    ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА "Арифметическая и геометрическая прогрессии" 9 класс

    ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА Арифметическая и геометрическая прогрессии. . ФИО (полностью). . Науменкова Олеся Анатольевна. . . . Место ...

    Информация о документе

    Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
    Дата добавления:15 июня 2016
    Категория:Алгебра
    Классы:
    Тип документа: Конспекты уроков
    Поделись с друзьями:
    Скачать напрямую