- Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена

Расположение корней квадратного трехчлена.

Пусть числа х1 и х2 – корни квадратного трехчлена f(x)= ax2+bx +c, причем х12 , D=b2-4ac≥0 , а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:


Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х12


а>0 (1) а

х0 = -b/2a или х0 = - b/2a

f (A) > 0 (3) f(A)


Если в первой системе объединить условия (1) и (3) , а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему :

x0= -b/2a

a∙ f(A) >0 .


Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х12 тогда и только тогда, когда

а>0 или a

f (A) f(A) >0


Запишем условия данных систем одним неравенством: af(A)


Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х1>А и х2>А тогда и только тогда, когда


а>0 (1) a

х0 >А (2) или x0 >A (5)

f(A) >0 (3) f(A)


Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6) , получим:

х0 > А,

а∙f(A) >0 .


Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А12

a>0 (1) a

Ax0B (2) или A0 B (6)

F (A) >0 (3) f(A)

f(b) >0 (4) f(B)


Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим


А 0

af(A) > 0,

af(B) > 0.


Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х12 тогда и только тогда, когда

а>0 a

f(A)или f(A)>0

f(B)0


Упростив данные системы, получим :

af(A)

a∙f(B)


Рассмотрим вопросы практического применения теорем о знаках квадратного трехчлена и теорем о расположении корней квадратного трехчлена.


Задача 1. При каких значениях параметра а уравнение х2+2∙(а+1)х+9=0 имеет два различных

положительных корня?


Решение. Так как по условию корни различны, то D>0. Воспользуемся теоремой 1( о знаках

корней квадратного трехчлена). Составим систему :


D= (a+1)2- 9 >0, (a-2)∙(a+4)>0,

x1x2=9>0, a

-2∙(a+1)>0.

Решив последнюю систему, получим , что -∞a

Ответ :- ∞a


Задача 2. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х + (4-а2)=0 имеет два корня разных

знаков?


Решение. Воспользуемся теоремой 2 (о знаках корней квадратного трехчлена). Запишем условие:

4-а2

а2 > 0

│а│> 2 => а 2.

Ответ : а2 .


Задача 3. При каких значениях параметра а уравнение х2 – 2ах + а2 – а- 6 =0 имеет два разных

отрицательных корня?


Решение. Воспользуемся теоремой 1 (о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем

систему :

D>0 , а+6>0,

x0a

f(0)>0 ; a2-a-6>0.

Решив последнюю систему, получим -6a


Ответ : -6a

Задача 4. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного

уравнения

х2 + (4а+5)∙х + 3-2а =0.


Решение. Пусть х1 и х2 корни квадратного трехчлена, причем х12. Воспользуемся теоремой 2

(о расположении корней квадратного трехчлена) и запишем систему :

D= 16a2 +48a +13 >0,

F(2)= 22 + (4a+5)∙2 +3- 2a

Решив систему, получим 17+6а

Ответ : а


Задача 5. При каких значениях параметра а корни уравнения 4х2 – 2х + а =0 находятся между

числами -1 и 1?


Решение. Так как корни находятся между числами -1 и 1, то -112

теоремой 4 ( о знаках корней квадратного трехчлена) и составим систему :


-10= 2/40 ,

4∙(4+2+а)>0, => 2 + а >0 ,

4∙(4 -2+а)>0, 4 – 16а>0;

D=(-2)2 - 4∙4а >0;

Решив систему, получим -2


Ответ : -2


Здесь представлен документ «Расположение корней квадратного трехчлена», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (все классы). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока на тему «Формула корней квадратного уравнения»

Конспект урока на тему «Формула корней квадратного уравнения»

Проект урока математики /алгебры/ - 8 класс / на основе технологии модерации;. в контексте требований ФГОС ООО /. Учитель: Ладанова Ирина Владимировна. ...
Урок для 8 класса по теме «Формула корней квадратного уравнения»

Урок для 8 класса по теме «Формула корней квадратного уравнения»

. “… разных детей и учить надо по-разному,потому что каждый по-своему воспринимает информацию”Гарднер. . . Специфика математики как учебного ...
Конспект урока алгебры по теме "Формула корней квадратного уравнения"

Конспект урока алгебры по теме "Формула корней квадратного уравнения"

Урок по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»(слайд 1). Цели урока:. познакомить с формулой корней квадратного уравнения и учить применять ...
Урок алгебры для 8 класса «Формула корней квадратного уравнения»

Урок алгебры для 8 класса «Формула корней квадратного уравнения»

Урок по теме. . «Формула корней квадратного уравнения. ». Организационная информация. Тема урока:. . «Формула корней квадратного уравнения. ...
Конспект урока по Алгебре "Формула корней квадратного уравнения" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Формула корней квадратного уравнения" 8 класс

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 класс. Автор: Критинина О.М. . – учитель математики МКОУ БООШ №5. Бутурлиновского района. ...
Конспект урока по Алгебре "Составление квадратного трехчлена по его корням" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Составление квадратного трехчлена по его корням" 8 класс

Класс. : 8 «Б». Предмет. : Алгебра. Дата. : _______. Урок. № 64. Тема. :. «. Составление квадратного трехчлена по его корням». . . Цели урока. ...
Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Тема:. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Цели:. Образовательные:. сформировать у учащихся понятие квадратного ...
Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Разработка урока по алгебре. 8 класс. Тема урока «Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители». Учитель ...
Конспект урока по алгебре в 10 классе "Отбор корней в тригонометрических уравнениях"

Конспект урока по алгебре в 10 классе "Отбор корней в тригонометрических уравнениях"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. «КАЧУЛЬСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА». План-конспект урока. . математики ...
Конспект урока по Алгебре "Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Способы решения квадратного уравнения. Использование частных соотношений коэффициентов" 8 класс

Урок в 8 классе по алгебре с применением технологии критического мышления в процессе преподавания математики. Тема: «Способы решения квадратного ...
Конспект урока по алгебре "Свойства корней степени n" 10 класс

Конспект урока по алгебре "Свойства корней степени n" 10 класс

Урок в 10 классе по алгебре и началам анализа. Тема:. Свойства корней степени n. . Цели урока:. . образовательные: обобщить знания свойств ...
Конспект урока по Алгебре "Извлечение квадратного корня из произведения и частного" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Извлечение квадратного корня из произведения и частного" 8 класс

Тема урока: «Извлечение квадратного корня из произведения и частного». Цель урока:. Развитие познавательной активности, логического мышления ...
Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях». Цели и задачи урока:. . . повторение ...
Конспект урока по Алгебре "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители" 8 класс

Для учителя. Урок алгебры в 8 классе. . Тема:. «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трёхчлена на множители». ...
Конспект урока по Алгебре "Применение свойств арифметического квадратного корня" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Применение свойств арифметического квадратного корня" 8 класс

Урок математики по теме: "Применение свойств арифметического квадратного корня" (8-й класс). . Аксютченко. . Жанна Владимировна,. учитель математики. ...
Конспект урока по Алгебре "Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня" 8 класс

Урок-обобщение. «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня». 8 класс. Цели урока:. Обобщить знания по всем ...
Конспект урока по Алгебре "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения" 8 класс

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения». . . ФИО (полностью). . Перькова Ирина Васильевна. ...
Контрольная работа "Свойства арифметических квадратных корней" 8 класс

Контрольная работа "Свойства арифметических квадратных корней" 8 класс

Контрольная работа № 4. . «Свойства арифметических квадратных корней». Вариант 1. Упростите выражение: а) ; б) ; в). . Сравните: и . ...
Конспект урока по Алгебре "Свойства арифметического квадратного корня" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Свойства арифметического квадратного корня" 8 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. основная общеобразовательная школа № 8. поселка Садового муниципального образования Славянский ...
Урок алгебры в 9 классе по теме «Свойства корней степени n»

Урок алгебры в 9 классе по теме «Свойства корней степени n»

Михайлова Галина Ивановна. . Учитель математики. МОУ-СОШ с. Карпенка Краснокутского района Саратовской области. Урок алгебры в 9 классе по ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:14 апреля 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа:
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую