- Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром

Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax2+bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a0 ветви направлены вверх.

Выражение x2+px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b2- 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при априложение 1, приложение 2 и приложение 3).

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,

x1•x2= c/a.

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x2+px+q : x1+x2= -p,

x1•x2= q.

Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p, x1•x2=q, то x1 и x2 – корни приведенного

квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b2-4ac0; x1•x2=c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :

x1+x2= -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a

 Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и

остаточно выполнения соотношения x1•x2=c/a

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a2-4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].

2. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных  положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х2-(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х2+(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х2-2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х2+(3а+1)х+а2+а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а2+а+1)х2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х2-2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х2-2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х2-2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х2+(а+1)х-а2=0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х2-4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х2+2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х2-3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х2-2ах+а2-а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х2-2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х2-2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х2-2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х2-3ах+4а=0 больше 1?

  Литература

  1. Цыганов Ш. “Квадратный трехчлен и параметры”/ Математика- № 5, 1999.

  2. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, Москва. Педагогический университет “первое сентября”, 2006.

  3. Астров К., “квадратичная функция и ее применение”, М.: Педагогика, 1986.

  4. Задачи с параметрами / Математика- № 43, 2003.

  5. Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы”, М.: “Оникс 21 век”, 2003.



Здесь представлен документ «Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (все классы). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока по алгебре "Применение производной к исследованию свойств функции и к решению прикладных задач" 10 класс

Конспект урока по алгебре "Применение производной к исследованию свойств функции и к решению прикладных задач" 10 класс

Конспект урока алгебры для учащихся 10 класса. Тема урока:. Применение производной к исследованию свойств функции и к решению прикладных задач. ...
Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Разработка урока по алгебре. 8 класс. Тема урока «Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители». Учитель ...
Тест по Алгебре "Функция и ее свойства. Квадратный трехчлен и его корни. Квадратичная функция и ее график" 9 класс

Тест по Алгебре "Функция и ее свойства. Квадратный трехчлен и его корни. Квадратичная функция и ее график" 9 класс

Тест для 9 класса по алгебре. для проведения дифференцированного итогового зачета. по темам. «Функция и ее свойства. Квадратный трехчлен и его корни. ...
Применение графического метода при решении неравенств с параметром, 11 класс

Применение графического метода при решении неравенств с параметром, 11 класс

Павлюк Ирина Владиславовна. учитель математики. МБОУ гимназия №19 г. Липецка. Применение графического метода. . при решении неравенств ...
Применение производной для решения задач экономического содержания, 10 класс

Применение производной для решения задач экономического содержания, 10 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение. средняя общеобразовательная школа № 31. города Мурманска. конспект урока. «Применение ...
Применение математических методов и моделей для решения экономических задач, 8-10 класс

Применение математических методов и моделей для решения экономических задач, 8-10 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение. средняя общеобразовательная школа № 31. города Мурманска. Приложение к программе элективного ...
Рабочая программа кружка «Практикум по решению математических задач повышенной трудности», 9 класс

Рабочая программа кружка «Практикум по решению математических задач повышенной трудности», 9 класс

«Муниципальное общеобразовательное учреждение. c. редняя общеобразовательная школа. . пгт Свеча Свечинского района Кировской области». ...
Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители" 8 класс

Тема:. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Цели:. Образовательные:. сформировать у учащихся понятие квадратного ...
Конспект урока по Алгебре "Составление квадратного трехчлена по его корням" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Составление квадратного трехчлена по его корням" 8 класс

Класс. : 8 «Б». Предмет. : Алгебра. Дата. : _______. Урок. № 64. Тема. :. «. Составление квадратного трехчлена по его корням». . . Цели урока. ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 8 класс

Тема: «Арифметический квадратный корень и его свойства». Урок-игра «Аукцион математических знаний». Цели урока. :. . Образовательные:. - ...
Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 10 класс

Конспект урока по Алгебре "Арифметический квадратный корень и его свойства" 10 класс

Конспект урока математики в 10 классе. Жирнова С.В. учитель математики. Тема урока:. «Арифметический квадратный корень и его свойства». Тип урока. ...
Тренинг по решению задач ЕГЭ: В1, В3, В5, В11, В13, 11 класс

Тренинг по решению задач ЕГЭ: В1, В3, В5, В11, В13, 11 класс

автор:. . Литвинова Дина Владимировна. должность:. . . учитель математики. место работы:. Областное государственное автономное. . общеобразовательное ...
Конспект урока по Алгебре "Решение задач с помощью рациональных уравнений" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Решение задач с помощью рациональных уравнений" 8 класс

Тема: «Решение задач с помощью рациональных уравнений» с использованием. . системно – деятельностного подхода в обучении и формирование УУД. ...
Конспект урока по Алгебре "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8 класс

Конспект урока по Алгебре "Решение задач с помощью квадратных уравнений" 8 класс

Вахнина Татьяна Сергеевна, учитель математики, физики. . Муниципальное общеобразовательное учреждение Перевозовская средняя общеобразовательная ...
Факультативное занятие. Тема: Решение задач с помощью уравнений 7 класс

Факультативное занятие. Тема: Решение задач с помощью уравнений 7 класс

Факультативное занятие. . Тема: Решение задач с помощью уравнений. Основные цели:. 1) формирование навыков решения задач повышенного уровня ...
Урок в 8 классе по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»

Урок в 8 классе по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»

. Урок в 8 классе по теме: «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений». Цель урока: отработка навыков решения текстовых задач на ...
Конспект урока на тему "Решение задач с помощью уравнений"

Конспект урока на тему "Решение задач с помощью уравнений"

Тема: Решение задач с помощью уравнений. . . Цели урока: научить решать задачи с помощью уравнения. Задачи: учащиеся должны знать компоненты ...
Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Характеристики урока (занятие). Уровень образования:. основное общее образование. . Целевая аудитория. : Учащиеся, учителя. Класс:. 8 класс. ...
Конспект урока по Алгебре "Уравнение и его корни" 7 класс

Конспект урока по Алгебре "Уравнение и его корни" 7 класс

Чаплыгина Валентина Викторовна. МБОУ «Глебовская средняя общеобразовательная школа». Курского района Курской области. учитель математики. ...
Конспект урока по алгебре "Квадратный корень из произведения и дроби" 8 класс

Конспект урока по алгебре "Квадратный корень из произведения и дроби" 8 класс

Урок алгебры в 8 классе по теме. «Квадратный корень из произведения и дроби». Цель урока:. . совершенствование. функциональной грамотности учащихся ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:22 сентября 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа:
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую