- Применение скалярного произведения векторовна уроках алгебры

Применение скалярного произведения векторовна уроках алгебры







Применение скалярного произведения векторов

на уроках алгебры.

Учитель математики лицея №344

г. Санкт-Петербург, Воробей И.М.





Основная цель : ознакомить с данным методом и показать его эффективность при решении уравнений , систем уравнений и некоторых других алгебраических задач.













Векторный метод может быть успешно применен не только в геометрии , но и в алгебре.

Сначала напомним определение и свойства скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними :

=|||| , где α – угол между векторами и

Так как |, то ||||||| , следовательно ,

|||| .

Если векторы и коллинеарные , то |= |||. В случаи , когда

, = |||.

Если векторы имеют известные в прямоугольной системе координат координаты , т.е. {и { , то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат :

= , ||= ; ||= .

Значит, .

В пространстве справедливы аналогичные формулы

.

Наличие радикалов позволяет предположить , что некоторые математические задачи , например , иррациональные уравнения можно решать с помощью скалярного произведения векторов.

Рассмотрим несколько примеров. Покажем эффективность векторного метода при решении уравнений , систем уравнений и при нахождении наименьшего ( наибольшего ) значения функции.







Пример 1. Решить уравнение + = 4.

Решение . ОДЗ: . Далее , обычно , возводят обе части уравнения в квадрат. В этом уравнении эту операцию пришлось бы произвести два раза. Можно решить это уравнение методом оценок. Покажем еще один способ , с помощью скалярного произведения векторов.

Рассмотрим вектор { ; } и вектор { 1 ; 1 } .

= ; | |= = ; | |= .

Т.к. ||,то .

Итак , По условию

Но = | || , если векторы и сонаправленные , т.е.

. Откуда

Ответ : 1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: Пусть { и { 1; 1}.

|| = ; || = ; ;

; .

Равенство возможно только , если векторы сонаправленные ,т.е.

; .

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1 .

Пример 3. Решить систему уравнений .

Решение . Пусть { , а ;| ; .

По условию следовательно , | ; | .

Т.к , то а по условию

Значит, векторы сонаправленные . Имеем ; . Из 1-ого уравнения получаем

Ответ:

Пример 4. Решить систему уравнений .

Решение . Рассмотрим вектор и вектор ;

| из условия имеем | |

; | Следовательно, исходя из условия, имеем . Это равенство возможно , если векторы и сонаправленные ,т.е. ; . Подставляя во 2-ое уравнение системы получим . Тогда . Исходная система имеет восемь решений.

Ответ : ( ;

;

Пример 5. Доказать , что система уравнений не имеет решений.

Доказательство. Пусть , | . По условию значит , | . Т.к. , то Из условия . Значит , система не имеет решений , что и требовалось доказать.

Пример 6 . При каком значении функция принимает наибольшее значение ?

Решение . D(y) = [ - 2 ; 6 ] . Рассмотрим векторы { и

; | ; | ; | .

Т.к. , то Итак , наибольшее возможное значение функции равно 4. Равенство достигается , если .

Т.е. . Решив это уравнение , получим , что - корень уравнения.

Ответ : при функция принимает наибольшее значение.

Пример 7 . Найти наибольшее значение выражения .

Решение . Рассмотрим векторы {и .

; Т.к. , то получаем Итак , наибольшее значение выражения равно 17 .

Ответ : 17 .

Пример 8 . При всех значениях параметра решить уравнение

.

Решение . ОДЗ ( для параметра : .

Рассмотрим векторы и

; | .

Т.к. , то .

Равенство возможно , если ,т.е. (*) . При исходное уравнение имеет единственный корень

Решая уравнение (*) , получим .

Ответ: при ;

при уравнение решений не имеет.



Пример 9 . При каких значениях параметра уравнение

имеет решение. Найти его .

Решение . ОДЗ ( для параметра ) :

Рассмотрим

;

Т.к. , то . Равенство возможно , если векторы сонаправлены , т.е. .

Если , то уравнение примет вид , откуда

Если , то из пропорции получим ; ,

откуда

Ответ:

уравнение не имеет решений , если

Пример 10 . Доказать неравенство

Доказательство . Докажем это неравенство с помощью скалярного произведения векторов. Рассмотрим два вектора и

.

Т.к. , то , что и требовалось доказать .

Пример 11 . Доказать , что если

Доказательство . Рассмотрим векторы и ; . Т.к и по условию , то получим . Что и требовалось доказать .

Было рассмотрено несколько математических задач , которые решены «векторным» методом , точнее с помощью скалярного произведения векторов. Главная трудность в использовании этого метода в решении задач заключается в выборе векторов. Нужно выбрать координаты векторов и так , чтобы уравнение приняло вид .









Здесь представлен документ «Применение скалярного произведения векторовна уроках алгебры», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (все классы). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока по алгебры "Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы" 10 класс

Конспект урока по алгебры "Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы" 10 класс

Урок алгебры в 10 классе. по теме: «Применение производной для исследования функций. . на монотонность и экстремумы». Тип урока:. . интегрированный. ...
Формирование навыков решения задач с параметрoм на уроках алгебры в 7 классе

Формирование навыков решения задач с параметрoм на уроках алгебры в 7 классе

«Формирование навыков решения задач с. . параметрo. м на уроках алгебры в 7 классе». Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать ...
Урок алгебры и начал анализа «Применение производной к исследованию функций. Наибольшее и наименьшее значение функции» 11 класс

Урок алгебры и начал анализа «Применение производной к исследованию функций. Наибольшее и наименьшее значение функции» 11 класс

ГОУ «Школа здоровья и индивидуального развития». Красногвардейского района. Санкт-Петербурга. Урок алгебры и начал анализа. ...
Конспект урока по Алгебре «Функциональные зависимости на уроках алгебры и физики» 8 класс

Конспект урока по Алгебре «Функциональные зависимости на уроках алгебры и физики» 8 класс

Муниципальное. общеобразовательное. учреждение. средняя общеобразовательная школа №21. г.Владимир. Бинарный урок по алгебре и физике. ...
Конспект урока алгебры "Производная и ее применение"

Конспект урока алгебры "Производная и ее применение"

Автор: Файзуллина Гульнара Мухаметовна. МОБУ СОШ с.Курятмасово. Тема урока :. Производная и ее применение. Класс 11. Цели урока. :. знать ...
Конспект урока алгебры на тему "ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА"

Конспект урока алгебры на тему "ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА"

ГУ «Гимназия №12 им.А.Гумбольдта». Конспект урока по алгебре. Тема: ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛА. Учитель математики. ...
Методическая разработка урока по математике в 10 классе «Геометрический и физический смысл производной. Применение производной»

Методическая разработка урока по математике в 10 классе «Геометрический и физический смысл производной. Применение производной»

Учитель математики. КГУ «Экономический лицей». Воробьева. Ирина. Юрьевна. Методическая разработка. урока математики в 10 классе. « Геометрический ...
Урок алгебры по теме "Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и разности двух выражений", 7 класс

Урок алгебры по теме "Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и разности двух выражений", 7 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. гимназия № 19 им.Н.З.Поповичевой г.Липецка. Конспект урока по ...
Урок алгебры для 8 класса "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни"

Урок алгебры для 8 класса "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни"

Алгебра. 8 класс. Урок № 26. Дата:_____________. Учитель:. Горбенко Алена Сергеевна. Тема:. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. ...
Урок алгебры в 9 классе на тему: «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Урок алгебры в 9 классе на тему: «Решение неравенств второй степени с одной переменной»

Муниципальное образовательное учреждение. . Лемешкинская средняя общеобразовательная школа. . Руднянского муниципального района Волгоградской ...
Урок алгебры в 7 классе на тему "Линейная функция и ее график"

Урок алгебры в 7 классе на тему "Линейная функция и ее график"

Урок алгебры в 7 классе. . на тему "Линейная функция и ее график". . Цели:. . применение возможностей программы GeoGebra. и интерактивной. ...
Разработка урока алгебры по теме: "Прямая пропорциональность" 7 класс

Разработка урока алгебры по теме: "Прямая пропорциональность" 7 класс

Федеральное государственное бюджетное специальное учебно-воспитательное . учреждение. для детей и подростков с девиантным поведением. «Орловское ...
Проект урока алгебры в 7 классе по теме "Линейное уравнение с одной переменной"

Проект урока алгебры в 7 классе по теме "Линейное уравнение с одной переменной"

Отдел образования администрации Тальменского района Алтайского края. МОУ Новоозёрская средняя общеобразовательная школа. Проект урока ...
Конспект урока алгебры в 7 классе на тему "Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений"

Конспект урока алгебры в 7 классе на тему "Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений"

Кудрявцева О.А., учитель математики МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №15» г. Калуги. . Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений. ...
Конспект урока алгебры в 7 классе «Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений»

Конспект урока алгебры в 7 классе «Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений»

Негосударственное образовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением. отдельных предметов имени В.Д.Чурсина ...
Конспект урока алгебры в 7 классе «Степень с натуральным показателем»

Конспект урока алгебры в 7 классе «Степень с натуральным показателем»

Урок алгебры в 7 классе. Тема. : «Степень с натуральным показателем». учитель математики Ярославского филиала МБОУ. «Никифоровская СОШ №1» Никифоровского ...
Конспект урока алгебры в 7 классе "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений"

Конспект урока алгебры в 7 классе "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений"

Урок алгебры в 7 классе на тему: "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений". Цели урока:. ...
Конспект урока алгебры в 10 классе по теме "Метод интервалов"

Конспект урока алгебры в 10 классе по теме "Метод интервалов"

Конспект урока алгебры в 10-м классе. Сизых Галины Дмитриевны. учителя математики МБОУ. «Качульская средняя. . общеобразовательная школа». ...
конспект урока алгебры "Преобразование целых выражений" 7 класс

конспект урока алгебры "Преобразование целых выражений" 7 класс

Муниципальное казённое образовательное учреждение. Горноводяновская средняя общеобразовательная школа. Дубовского муниципального района Волгоградской ...
План-конспект первого урока алгебры в 7 классе

План-конспект первого урока алгебры в 7 классе

План-конспект первого урока алгебры в 7 классе. Цели. :. . Образовательные:. познакомить учащихся с новой наукой – алгеброй и историей ее ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:27 мая 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа:
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую