- Конспект урока по Алгебре "Методы решения тригонометрических уравнений" 10 класс

Конспект урока по Алгебре "Методы решения тригонометрических уравнений" 10 класс

МОУ «Ангоянская средняя общеобразовательная школа»








Открытый урок

по алгебре и началам анализа

10 класс

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений





Учитель высшей квалификационной категории

Золтуева Марина Владимировна












Тема: Методы решения тригонометрических уравнений



Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигаем цели.

Лейбниц


Цели урока:

Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.

Развивающие: содействовать развитию качеств, лежащих в основе познавательных способностей: мышление, память, внимание, воображение, речь.

Воспитывающие: побуждать учеников к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, воспитывать упорство и трудолюбие, укреплять интерес к математике.

Валеологические: создать комфортную обстановку на уроке для учащихся всех уровней обучения, исключить перегрузку детей.


Оборудование: экран, кодоскоп, набор карточек для сбора схемы на магнитной доске, показывающей связь между решениями и коэффициентами уравнения

а∙sinx + bcosx = 1, таблица со списком уравнений, карточки с тестовым заданием, копировальная бумага, табло результативности



План урока

  1. Организационный момент (2 мин.)

  2. Разминка (6 мин.)

  3. Решение уравнений (12 мин.)

  4. Тестирование (7 мин.)

  5. Демонстрация методов решения уравнений (15 мин.)

  6. Домашнее задание (1 мин.)

  7. Итог урока (2 мин.)


Ход урока


I.Организационный момент (Вводная беседа)


Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать во внимании, чтобы решать конкретные задачи наиболее рациональным из них.

II. Разминка

Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решения.

Задание. Рядом с каждым уравнением 1-12 указать номер метода, которым можно решить данное уравнение наиболее рационально.


Классификация тригонометрических уравнений по методам решения.


Уравнения

№ метода

Методы

1

sin x/3 – cos 6x = 2

4(б)


1.Разложение на множители.

2.Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента;

3.Сведение к однородному уравнению.

4.Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции

2

|1- cos x | · sin x = 4sin2x·cos x

1 – cos x

1

3

3·sin x-|1+ cos x | ·sin2x = sin2x

1 + cos x

1

4

5sin x2cos x = 1


3, 2(б,в)

5

sin 3x·cos 2x = 1


4(б)

6

cos2x = √2 (cos x – sin x)


1,2(б,в),3

7

1 - sin 2x = cos x – sin x


1,2(б,в),3

8

cos 3x = sin x


4(а)

9

4 – cos2x = 4sin x


2(а)

10

sin 3xsin 5x = 0


4(б)

11

tg 3x · tg (5x + П/3) = 1


4(а)

12

2 tg x/2 – cos x = 2

1,2(а,б,в), 3, 4(а)


Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, что наибольшее количество методов можно применить при решении уравнения №12. Отмечается, что первые три из указанных методов являются традиционными для решения тригонометрических уравнений. Что касается последнего метода, то он рассматривается достаточно редко. Предлагается остановиться на этом методе.

III. Решение уравнений

Метод использования свойства ограниченности функции (кодопозитив 1)

Если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех x выполняются неравенства

f(x) ≤ а и g(x)≤ в, и дано уравнение f(x) + g(x) = а + в, то оно равносильно системе

f(x) = а

g(x) = в










Ученики-консультанты выполняют решение с объяснением у доски, остальные – в тетради.


Уравнение №1. sin x/3 – cos 6x = 2


Решение. Поскольку | sin x/3 | ≤ 1 и | cos 6x | ≤ 1, имеем систему

sin x/3 = 1 x/3 = П/2 + 2Пк ,кcZ x = 3П/2 +6Пк, кcZ

cos 6x = -1 6x = П+2Пп,псZ x = П/6 =Пп/3, псZ


Покажем общее решение на тригонометрической окружности. Решение первого уравнения системы обозначим *, а второго точкой и найдём их общее решение.


П/2


5П/6 П/6


7П/6 11П/6


3 П/2


Ответ: x = 3П/2 + 6Пr,rcZ




Метод использования условия равенства одноимённых тригонометрических функций (кодопозитив 2)




sin f(x)=sin g(x)


f(x) = g(x)+2Пk ,kcZ

f(x) =П - g(x)+2Пn ,ncZ



cos f(x)= cos g(x)


f(x) = g(x)+2Пk, kcZ

f(x) = - g(x)+2Пn ,ncZ



tg f(x)=tg g(x)


f(x) = g(x)+Пk ,kcZ

g(x) =П/2+Пr ,rcZ




Трое учеников решают уравнения № 8,10,11 на доске, остальные учащиеся решают любой из этих номеров в тетради.


Уравнение № 10. sin 3xsin 5x = 0


Решение. На основании условий равенства двух синусов имеем:


5x = 3x+2Пk ,kcZ 2x = k ,kcZ x = Пk ,kcZ

5x =П - 3x+2Пn ,ncZ 8x = (2п +1)П ,ncZ x = (2п +1)П/8 , ncZ

Ответ: x = Пk ,kcZ ; x = (2п +1)П/8 , ncZ



Уравнение №8. cos 3x = sin x


Решение. cos 3x = cos (П/2 - x).

Воспользуемся равенством косинусов двух углов, имеем:


3x- (П/2 - x) = k, kcZ 4x = (4п+1)П/2, ncZ x = (4п+1)П/8, ncZ

3x+ (П/2 - x) = n ,ncZ 2x = (4к-1)П/2, кcZ x = (4п-1)П/4, кcZ


Ответ: x = (4п+1)П/8, ncZ; x = (4п-1)П/4, кcZ



Уравнение № 11. tg 3x · tg (5x + П/3) = 1

Решение: Делим обе части уравнения на tg 3x. Это допустимо, т. к. в данных условиях tg 3x не может быть равно нулю:


tg (5x + П/3) = 1 , tg (5x + П/3) = сtg 3x, tg (5x + П/3) = tg ( П/2 – 3х)

tg 3x


На основании условия равенства тангенсов двух углов имеем:


5x + П/3 - П/2 + 3х = Пn

8х = П/6+Пn, х = (6п + 1) П/48, ncZ


При каждом значении х из этой совокупности каждая из частей уравнения


tg (5x + П/3) = tg ( П/2 – 3х) существует.


Ответ: (6п + 1) П/48, ncZ



IV. Тестирование



Метод сведения уравнения вида а sin х + в соs х = с (а,в,с ≠ 0) к однородному уравнению.


Выясняем преимущества данного метода над основными способами решения этого уравнения (введение вспомогательного угла, применение формул универсальной под­становки). Отмечаем, что он, так же как и метод рационализации, применяется в физике при сложении гармонических колебаний.

На магнитной доске ученик составляет системно-обобщающую таблицу, раскрывающую идею решения уравнения вида а sin х + в соs х = с (а,в,с ≠ 0), из заранее подготовленных карточек.


















Условия на коэффициенты

Решения


x = 2arctg a +(-) √ Δ + 2Пn ,ncZ

b + c

Δ > 0

D > 0

D > 0



b + c ≠ 0


x = 2arctg a + 2Пn ,ncZ

b + c

Δ = 0



решений нет


Δ



b + c = 0

x= П(1 +2n) ,ncZ


x = - 2arctg b + 2Пk ,kcZ

a






Знания остальных учащихся проверяются тестом с последующим ­контролем.


Тест. Раскройте идею решения уравнения вида а sin х + в cos х = с (а,в.с ≠ 0), показав стрелками зависимость решений от условий, наложенных на коэффициенты.





b + c = 0


b + c ≠ 0





1.

4sin х - 5cos х =5

2.

3sin х+4cos х =5


3.

5sin х + 4cos х =5


4.

- sin х + cos х =12





Δ = 0


Δ


Δ > 0





x= П(1 +2n) ,ncZ


x = -2arctg b + k ,

а

kcZ

x = 2arctg a +

b + c

+ 2Пn , ncZ


Нет

реше

ния

x = 2arctg a +(-)√ Δ +

b + c

+ 2Пn , ncZ







Выполнил:___________ Оценка:________







V. Демонстрация методов решения уравнения

(индивидуальное домашнее задание)


Отмечаем, что в уравнении а sin х + в соsх = с а, в и с - любые действительные числа. Если а = b = 0, а с ≠ 0, то уравнение теряет смысл;

Если а = в = с = 0, то х - любое действительное число, т. е. уравнение обращается в тождество.

Уравнение sin х + cos х = 1 можно решать, по крайней мере, ше­стью способами.

На доске 6 учеников показывают различные способы реше­ния этого уравнения. Проводим сравнительный анализ и коммента­рий решений.


Способ 1. Сведение к однородному уравнению.

- Выразим sin х, cos x и 1 через функции половинного аргумента:


Способ 2. Преобразование суммы в произведение.


Способ 3. Введение вспомогательного угла.


- Разделим обе части уравнения на √2:


Способ 4. Метод рационализации (кодопозитив 3)


Введение выражений для sin x и cos x через tg x/2 по формулам


Обращение к функции tg x/2 предполагает, что cos x/2 ≠ 0, т.е. х ≠ n ,ncZ


Такой способ решения получил название - метод рационализации, т. к. вспомогательное неизвестное вводится так, чтобы после подстановки получилось рациональное уравнение относительно этого вспо­могательного неизвестного.














Итак, по формулам исходное уравнение примет вид:


Способ 5. Замена cos x выражением + √ 1 – sin2 x:

Способ 6. Применение формулы sin x +cos x = √2 sin (x + П/4)

Исходное уравнение примет вид:


- Все решения показываем на триго­нометрическом круге цветными точками, отмечаем их совпадение.




VI. Домашнее задание

Решить уравнение №12 из таблицы несколькими способами


VII. Итог урока

Учитель подводит итоги урока, выставляет оценки, даёт пояснения к домашнему заданию

Здесь представлен документ «Конспект урока по Алгебре "Методы решения тригонометрических уравнений" 10 класс», который Вы можете бесплатно скачать на нашем сайте. Предмет: Алгебра (10 класс). Также здесь Вы можете найти дополнительные учебные материалы и презентации по данной теме, используя которые, Вы сможете еще больше заинтересовать аудиторию и преподнести еще больше полезной информации.

Список похожих документов

Конспект урока алгебры в 9 классе "Методы решения систем уравнений"

Конспект урока алгебры в 9 классе "Методы решения систем уравнений"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ. . ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. . «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №5» г.Михайловска. Методическое объединение ...
Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений" 10 класс

Конспект урока "Решение тригонометрических уравнений" 10 класс

Государственное учреждение «Аулиекольская школа-гимназия им.С.Баймагамбетова отдела образования Аулиекольского района». Конспект урока ...
Конспект урока алгебры в 8 класс «Свойства уравнений и воспроизвести алгоритм решения уравнений, содержащих переменную в обеих частях»

Конспект урока алгебры в 8 класс «Свойства уравнений и воспроизвести алгоритм решения уравнений, содержащих переменную в обеих частях»

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа №1 г.Суздаля». Учитель математики: Плотникова Татьяна ...
Конспект урока алгебры в 7 классе "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений"

Конспект урока алгебры в 7 классе "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений"

Урок алгебры в 7 классе на тему: "Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений". Цели урока:. ...
Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Конспект урока в 7 классе по алгебре по теме: «Решение задач составлением системы уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение общеобразовательная школа №53. пос. Октябрьский Люберецкий район Московская область. . . ...
Конспект урока на тему "Виды уравнений. Методы решения уравнений"

Конспект урока на тему "Виды уравнений. Методы решения уравнений"

ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59. Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново. Виды уравнений. Методы решения уравнений. ...
Конспект урока "Применение метода подстановки для решения систем уравнений" 7 класс

Конспект урока "Применение метода подстановки для решения систем уравнений" 7 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Средняя общеобразовательная школа города Пионерский». Калининградской области. ...
Конспект урока для 9 класса "Графический способ решения систем уравнений"

Конспект урока для 9 класса "Графический способ решения систем уравнений"

Открытый бинарный урок (алгебра и информатика) по теме:. Графический способ решения систем уравнений. . (9-й класс). Учебник: Алгебра, 9 класс, ...
Конспект урока для 8 класса «Способы решения иррациональных уравнений»

Конспект урока для 8 класса «Способы решения иррациональных уравнений»

Балагурова-Шемота Наталья Юрьевна. Учитель математики МБОУ лицей №90 г. Краснодар. Учебник А.Г. Мордкович (углубленное изучение). Класс -8. ...
Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе по алгебре по теме: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»

Конспект урока в 9-м классе. . по алгебре. . по теме:. . «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ». Учитель. высшей категории. Петухова И.В. ...
Конспект урока для 11 класса "Решение уравнений с модулем"

Конспект урока для 11 класса "Решение уравнений с модулем"

. . Схема конспекта урока. Педагог Черноусова Татьяна Георгиевна. Предмет алгебра. Класс 11. Тема урока: Решение уравнений с модулем. ...
Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях»

Конспект урока для 11 класса на тему «Арифметический способ отбора корней в тригонометрических уравнениях». Цели и задачи урока:. . . повторение ...
Конспект урока для 4 класса "Составление и решение уравнений более сложной структуры"

Конспект урока для 4 класса "Составление и решение уравнений более сложной структуры"

Класс. 4 «б» Дата__________ Урок математика. . . Тема урока:. Составление и решение уравнений более сложной структуры (. х. + 713 = 1520 : ...
Конспект урока для 4 класса «Преобразование тригонометрических выражений»

Конспект урока для 4 класса «Преобразование тригонометрических выражений»

Зачёт №4 по алгебре и начала анализа 10 класса. по теме «Преобразование тригонометрических выражений». Вопросы:. . 1.Синус и косинус суммы и ...
Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

Конспект урока для 9 класса «Решение систем уравнений второй степени»

УЧИТЕЛЬ: Круглова Н. И. Урок «Решение систем уравнений второй степени» Алгебра 9 класс. . Тип урока:. комбинированный. . Формы работы:. ...
Конспект урока в 9 классе по алгебре "НАХОЖДЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАФИКУ"

Конспект урока в 9 классе по алгебре "НАХОЖДЕНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ГРАФИКУ"

Алгебра 9 класс. Тема урока: Нахождение свойств функции по ее графику. Цели:. познакомить учащихся с основными свойствами функций; формировать ...
Конспект урока для 8 класса "Графическое решение квадратных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Графическое решение квадратных уравнений"

Управление образования. администрации Павловского района. Проект урока. Предмет алгебра. класс 8 В. Тема. Графическое решение ...
Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений"

Характеристики урока (занятие). Уровень образования:. основное общее образование. . Целевая аудитория. : Учащиеся, учителя. Класс:. 8 класс. ...
Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение квадратных уравнений"

. . . Тема:. . Решение квадратных уравнений. . Класс: 8. . Дата:_. _. Тип урока:. . Урок-обобщение. . . . Цель ...
Конспект урока для 8 класса "Решение уравнений"

Конспект урока для 8 класса "Решение уравнений"

Гончарова Мария Федоровна. Учитель математики. МБОУ СОШ № 92 г.о. Самара. . Решение уравнений. Алгебра 8 класс. Программно-методическое ...

Информация о документе

Ваша оценка: Оцените документ по шкале от 1 до 5 баллов
Дата добавления:29 ноября 2016
Категория:Алгебра
Классы:
Тип документа: Конспекты уроков
Поделись с друзьями:
Скачать напрямую